Выборочная дисперсия является одним из основных показателей в статистике, который используется для измерения разброса значений в выборке. Она помогает оценить, насколько различаются отдельные значения от среднего значения выборки. Для расчета выборочной дисперсии необходимо иметь данные о значениях в выборке и их среднем значении.
Выборочная дисперсия вычисляется путем суммирования квадратов разностей между каждым значением выборки и средним значением выборки. Полученная сумма затем делится на количество значений в выборке минус одно, что позволяет получить среднеквадратическое отклонение. Однако важно отметить, что выборочная дисперсия является несмещенной оценкой, поэтому при расчете ее значения необходимо корректировать.
Пример расчета выборочной дисперсии:
Допустим, у нас есть выборка значений {10, 12, 14, 16, 18}. Чтобы найти выборочную дисперсию, первым шагом нужно найти среднее значение выборки. Оно равно сумме всех значений выборки, деленной на количество значений в выборке.
Среднее значение = (10 + 12 + 14 + 16 + 18) / 5 = 14.
Далее, необходимо вычислить разницу между каждым значением выборки и средним значением. Затем полученную разницу нужно возвести в квадрат и сложить все значения.
Сумма квадратов разностей = (10 — 14)^2 + (12 — 14)^2 + (14 — 14)^2 + (16 — 14)^2 + (18 — 14)^2 = 20 + 4 + 0 + 4 + 20 = 48.
И, наконец, выборочная дисперсия определяется как сумма квадратов разностей, деленная на количество значений в выборке минус одно.
Выборочная дисперсия = 48 / (5 — 1) = 48 / 4 = 12.
Таким образом, выборочная дисперсия для данной выборки равна 12.
Что такое выборочная дисперсия?
Для определения выборочной дисперсии необходимо вычислить сумму квадратов отклонений каждого значения выборки от ее среднего значения, а затем поделить эту сумму на количество значений в выборке минус один.
Формула выборочной дисперсии выглядит следующим образом:
S^2 = (∑(X — X̄)^2) / (n — 1)
Где:
- S^2 — выборочная дисперсия
- ∑(X — X̄)^2 — сумма квадратов отклонений каждого значения от среднего значения
- n — количество значений в выборке
- X̄ — среднее значение выборки
Выборочная дисперсия может быть использована для оценки разброса значений в выборке, а также для сравнения разброса значений в разных выборках.
Для наглядного понимания выборочной дисперсии можно рассмотреть примеры расчета для разных типов выборок, как дискретных, так и непрерывных.
Определение выборочной дисперсии
Для расчета выборочной дисперсии необходимо знать значения всех элементов выборки и ее среднее значение. Формула выборочной дисперсии позволяет нам получить числовое значение, которое показывает насколько сильно данные отклоняются от среднего.
| Формула выборочной дисперсии | Расчет значения |
|---|---|
| Выборочная дисперсия (S2) | S2 = Σ(xi — x̄)2 / (n — 1) |
В формуле S2 обозначает выборочную дисперсию, xi — значение элемента выборки, x̄ — среднее значение выборки, Σ — сумма всех элементов выборки, n — количество элементов в выборке.
Формула выборочной дисперсии
Формула выборочной дисперсии выглядит следующим образом:
- Для дискретной выборки:
- $$S^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i — \overline{x})^2}{n-1}$$
- Для непрерывной выборки:
- $$S^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i — \overline{x})^2}{n}$$
Где:
- $$S^2$$ — выборочная дисперсия;
- $$\sum_{i=1}^{n} (x_i — \overline{x})^2$$ — сумма квадратов отклонений каждого элемента выборки от среднего значения выборки;
- $$x_i$$ — элемент выборки;
- $$\overline{x}$$ — среднее значение выборки;
- $$n$$ — количество элементов выборки.
Выборочная дисперсия для дискретной выборки находится путем деления суммы квадратов отклонений на n-1, где n — количество элементов выборки. Это делается для исправления смещения оценки выборочной дисперсии. В случае с непрерывной выборкой выборочная дисперсия вычисляется путем деления суммы квадратов отклонений на n без коррекции на n-1.
Формула выборочной дисперсии является ключевым инструментом в статистике, который позволяет измерить разброс данных в выборке и сравнить его со средним значением выборки. Она находит широкое применение в различных областях, включая науку, экономику и социологию.
Примеры расчета выборочной дисперсии
Для лучшего понимания выборочной дисперсии, давайте рассмотрим примеры расчета для различных типов выборок.
- Пример 1: Расчет выборочной дисперсии для дискретной выборки
Предположим, мы имеем следующую дискретную выборку:
Выборка: 3, 5, 7, 9, 12
Шаг 1: Найдем среднее значение выборки:
(3 + 5 + 7 + 9 + 12) / 5 = 36 / 5 = 7.2
Шаг 2: Вычтем среднее значение из каждого элемента выборки и возведем результат в квадрат:
(3 — 7.2)^2 = 17.64
(5 — 7.2)^2 = 4.84
(7 — 7.2)^2 = 0.04
(9 — 7.2)^2 = 3.24
(12 — 7.2)^2 = 23.04
Шаг 3: Найдем сумму полученных значений:
17.64 + 4.84 + 0.04 + 3.24 + 23.04 = 48.8
Шаг 4: Разделим полученную сумму на количество элементов в выборке минус 1:
48.8 / (5 — 1) = 48.8 / 4 = 12.2
Таким образом, выборочная дисперсия для данной дискретной выборки равна 12.2.
- Пример 2: Расчет выборочной дисперсии для непрерывной выборки
Предположим, мы имеем следующую непрерывную выборку:
Выборка: 4, 5, 6, 7, 8
Шаг 1: Найдем среднее значение выборки:
(4 + 5 + 6 + 7 + 8) / 5 = 30 / 5 = 6
Шаг 2: Вычтем среднее значение из каждого элемента выборки и возведем результат в квадрат:
(4 — 6)^2 = 4
(5 — 6)^2 = 1
(6 — 6)^2 = 0
(7 — 6)^2 = 1
(8 — 6)^2 = 4
Шаг 3: Найдем сумму полученных значений:
4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
Шаг 4: Разделим полученную сумму на количество элементов в выборке минус 1:
10 / (5 — 1) = 10 / 4 = 2.5
Таким образом, выборочная дисперсия для данной непрерывной выборки равна 2.5.
Пример 1: Расчет выборочной дисперсии для дискретной выборки
Давайте рассмотрим пример расчета выборочной дисперсии для дискретной выборки. Предположим, у нас есть следующая выборка: 3, 5, 8, 9, 10.
Шаг 1: Найдем среднее значение выборки. Для этого сложим все значения выборки и разделим на их количество: (3 + 5 + 8 + 9 + 10) / 5 = 7.
Шаг 2: Вычислим разность между каждым значением выборки и средним значением, а затем возведем эту разность в квадрат. Получим следующие значения: (3 — 7)^2 = 16, (5 — 7)^2 = 4, (8 — 7)^2 = 1, (9 — 7)^2 = 4, (10 — 7)^2 = 9.
Шаг 3: Найдем сумму полученных квадратов разностей: 16 + 4 + 1 + 4 + 9 = 34.
Шаг 4: Рассчитаем выборочную дисперсию, разделив полученную сумму на количество значений в выборке минус 1: 34 / (5 — 1) = 8.5.
Таким образом, выборочная дисперсия для данной дискретной выборки равна 8.5.
| Значение | Разность среднего значения | Квадрат разности |
|---|---|---|
| 3 | -4 | 16 |
| 5 | -2 | 4 |
| 8 | 1 | 1 |
| 9 | 2 | 4 |
| 10 | 3 | 9 |
Пример 2: Расчет выборочной дисперсии для непрерывной выборки
Допустим, у нас имеется набор данных о возрасте людей, прошедших определенный медицинский осмотр. Представим, что эти данные были разделены на интервалы следующим образом:
Интервал 1: 20-25 лет — 4 человека
Интервал 2: 26-30 лет — 8 человек
Интервал 3: 31-35 лет — 12 человек
Интервал 4: 36-40 лет — 10 человек
Для расчета выборочной дисперсии по непрерывной выборке, нам необходимо знать среднее значение и количество элементов в каждом интервале.
Примем среднее значение распределения возраста равным 30 лет. Тогда в каждом интервале будем считать показатель отклонения от среднего значения, где разница берется в квадрате. Для интервала 1 (20-25 лет), отклонение будет равно (20-30)^2 = 100 и т.д.
После того, как мы посчитаем значения отклонения для каждого интервала и умножим их на количество элементов в интервале, мы получим сумму отклонений (сумму квадратов разности от среднего значения) по всей выборке.
Далее, выборочная дисперсия будет равна отношению суммы квадратов разности от среднего значения к общему количеству элементов в выборке, вычитая единицу (так как расчет производится на основе выборки, а не на основе всех возможных значений).
Таким образом, для данного примера, расчет выборочной дисперсии для непрерывной выборки составляет:
Для интервала 1: (4 * 100) = 400
Для интервала 2: (8 * 16) = 128
Для интервала 3: (12 * 4) = 48
Для интервала 4: (10 * 16) = 160
Сумма квадратов разности от среднего значения: 400 + 128 + 48 + 160 = 736
Количество элементов в выборке: 4 + 8 + 12 + 10 = 34
Выборочная дисперсия: 736/(34-1) = 736/33 = 22.303
Таким образом, в данном примере, выборочная дисперсия для непрерывной выборки равна 22.303.
Важно отметить, что данный пример является упрощенным и содержит только часть возможных интервалов и значений. В реальности, выборочная дисперсия может быть рассчитана для более сложных и разнообразных данных, представленных в непрерывном виде.
Если вы считаете, что данный ответ неверен или обнаружили фактическую ошибку, пожалуйста, оставьте комментарий! Мы обязательно исправим проблему.